Mathe: Summe von Potenzen

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    Mathe: Summe von Potenzen

    Ich würde gerne herausfinden, wie Wolframalpha auf die folgenden Ergebnisse kommt:
    wolframalpha.com/input/?i=sum+from+i%3D0+to+l+of+k%5Ei
    Also auf das hier:

    Mein Versuch ist dieser hier (ich nenne die Summe einfachheitshalber mal S):

    Wolframalpha hat am Ende durch k - 1 geteilt, also vielleicht kommt irgendwie auf ein schönes Ergebnis, wenn man vorher mit k - 1 multipliziert:

    Ok, rechte Seite ausmultiplizieren:

    Ok, nochmal rechts die Klammern ausmultiplizieren:
    (nicht absichtlich mit Zeilenumbruch)
    Sieht jetzt kompliziert aus, aber man kann stark vereinfachen: k * k^n = k^(n+1) und 1*k^n = k^n

    Jetzt kann man die Folge "auseinanderziehen". Also statt A1 - B1 + A2 - B2 + A3 - B3 kann man auch sagen A1 + A2 + A3 - B1 - B2 - B3 bzw. mit Klammern A1 + A2 + A3 - (B1 + B2 + B3):
    (absichtlich so eingerückt)
    Wie man sieht, heben sich die Summanden in der Mitte auf. Es bleiben nur k^0 unten und k^(l+1) oben übrig:

    k^0 = 1 (für k != 0 natürlich), deshalb:

    Und jetzt einfach wieder durch k - 1 dividieren:

    Das ist das Ergebnis. Ich würde sagen, dass das passt, aber ich will halt sicher gehen, dass das auch wirklich korrekt ist und ob dieses "vorher beide Seiten multiplizieren, ausmultiplizieren, vereinfachen, auseinanderziehen, subtrahieren und wieder dividieren"-Verfahren einen bekannten Namen hat.
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
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    Schön erklärt - ich kann keinen Fehler entdecken. Das Verfahren würde ich "mathematischen Beweis" nennen :). Das Multiplizieren von (k-1) ist sinnvoll, aber nicht auf Anhieb offensichtlich, weil es einfach vom Himmel fällt. Das macht nämlich den Unterschied zwischen Mathematikern und "den anderen" aus: Mathematikern fallen solche Tricks nach endlicher Zeit ein, den anderen nicht.

    Edit: WolframAlpha wird vielleicht auch den Induktionsbeweis durchgeführt haben:
    \begin{align} \sum_{i=0}^{n+1}{k^i} = \frac{k^{n+1} - 1}{k-1} + k^{n+1} = \frac{k^{n+1} - 1 + (k-1)\cdot k^{n+1}}{k-1} = \frac{k^{n+1} - 1 + k\cdot k^{n+1} - k^{n+1}}{k-1} = \frac{k^{n+2} - 1}{k - 1}\end{align}


    Edit: Ich hasse mathJax. Wie ging das hier nochmal? Ok, man sollte auch Javascript dafür aktivieren.
    Gruß
    hal2000

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    Soweit ich das richtig sehe ist das doch die n-te Partialsumme der Geometrischen Reihe. Dann ist die Gleichheit ja bereits bekannt und die Software könnte einfach abgleichen.
    Es scheint hier wird eine ähnlich aber kürzere Umformung verwendet: de.wikipedia.org/wiki/Geometri….C3.BCr_die_Partialsummen
    Danke an euch beide.
    Den Induktionsbeweis hab ich noch nicht so ganz verstanden.
    Dass es sich um eine geometrische Reihe handelt, ist mir garnicht aufgefallen. Jetzt, da ichs gesehen habe, kommt mir auch die Herleitung auf Wikipedia wieder bekannt vor.
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
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    Niko Ortner schrieb:

    Den Induktionsbeweis hab ich noch nicht so ganz verstanden.

    Er ist auch arg gekürzt. Üblicherweise beginnst du, indem du den niedrigst-möglichen Wert für n (hier 0) in beide Formeln einsetzt und ausrechnest. Kommt dasselbe raus, stimmt der erste Schritt, der Induktionsanfang:
    \begin{align*}\sum_{i=0}^{1}{k^i} = k^0 = 1\end{align*}

    \begin{align*}\frac{k^{0+1} - 1}{k-1} = 1\end{align*}


    Danach kommt die Induktionsvoraussetzung: Man nimmt an, dass die Formel für alle l <= n stimmt. Das bedeutet, dass
    \begin{align*}\sum_{i=0}^{l}{k^i} = \frac{k^{l+1} - 1}{k-1}\end{align*}

    gilt.

    Im Induktionsschritt betrachtest du dann den zu beweisenden Term für n+1 und versuchst ihn so aufzuspalten, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst. Du willst also eine Form T(n+1) = T(n) + [irgendwas] erreichen. Üblicherweise kommst du drauf, wenn du dir überlegst, was genau für n+1 zum vorhandenen Ergebnis dazukommen würde. In unserem Fall ist das
    \begin{align*}\sum_{i=0}^{n+1}{k^i} = \sum_{i=0}^{n}{k^i} + k^{n+1}\end{align*}


    Jetzt ersetzt du den linken Summanden durch die Induktionsvoraussetzung (siehe Post #2). Durch Umformen erhältst du einen Ausdruck, der der Induktionsvoraussetzung entspricht, in der jedoch alle n durch n+1 ersetzt sind. Und genau das ist ja das gewünschte Ergebnis - quasi ein Beweis durch "Strukturgleichheit", wenn man es so nennen möchte.
    Gruß
    hal2000