Mathe-Frage: ergibt sich eine genaue Sinus-Funktion?

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Es gibt 19 Antworten in diesem Thema. Der letzte Beitrag () ist von RodFromGermany.

    Mathe-Frage: ergibt sich eine genaue Sinus-Funktion?

    gegeben eine Kreisscheibe, die um einen Punkt rotiert, der nicht Mittelpunkt ist (exzentrisch). Gemessen wird nun ihr höchster Rand-Punkt, in Relation zum rotierten Winkel.

    Zumindest bei kleiner Exzentrizität ergibt das sicherlich eine Messkurve, einer Sinus-Schwingung sehr ähnlich.
    Aber ist das wirklich ein Sinus?

    Das benötige ich, weil das ist der Aufbau einer Messapparatur zur Kalibrierung von Abstands-Mess-Sensoren - im VersuchsAufbau rotiert eine präzis gefräste Kreisscheibe exzentrisch.
    Wenn der Zusammenhang tatsächlich ein Sinus ist, kann ich aus den Min-/Max-Ausschlägen und der Periode rechnerisch den tatsächlichen Abstand in jedem Moment der Messung ermitteln, um damit als Vergleichswert dem Sensor mit nur einer Umdrehung genauestens auf den Zahn fühlen zu können.
    Könntest Du eine Skizze anfertigen?
    Meinst Du vom Prinzip her sowas wie eine Kurbelwelle bei einem Motor?

    Edit:
    Also so:


    Wenn der Radius (oder Durchmesser) des Kreises, die Exzentrizität und ein Winkel gegeben sind, möchtest Du die vertikal eingezeichnete Distanz berechnen?

    In diesem Fall wäre es eine Sinus-artige Funktion. Nämlich:

    Quellcode

    1. y: Vertikal eingezeichnete Distanz
    2. x: Winkel
    3. r: Radius
    4. e: Exzentrizität
    5. y = sin(x) * e + r

    Der Mittelpunkt des Kreises macht eine kreisförmige Bewegung um den Ursprung. Das ist eine Sinusfunktion. Und nach oben hin kommt dann noch der Radius des Kreises drauf. Der ist immer gleich.
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
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    Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von „Niko Ortner“ ()

    @ErfinderDesRades Nein, es ist kein Sinus.
    Im Extremfall rotierst Du um einen Peripherie-Punkt, da kommt so was wie eine aus Halbkreisen bestehende Holper-Funktion raus.
    Abhängig vom Abstand kommt also bestenfalls so was ähnliches wie ein Sinus raus.
    Falls Du diesen Code kopierst, achte auf die C&P-Bremse.
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    Uih - ich hab das Problem offsichtlich nicht richtig definiert, wie mir jetzt an vb1963's Animation klar wird.
    Weil meine Mess-Anordnung misst nicht immer den höchsten Punkt des Exzenters.
    Weil mein Sensor hat keine sone Platte wie inne Animation, sondern ist eher punktförmig.
    Um einen Sinus zu ergeben wäre aber eine Platte erforderlich, in genau der Breite der Exzentrizität. Dann wirkt sich das aus, was Niko sagt "der Kreismittelpunkt rotiert um den Koordinatenmittelpunkt, und deshalb Sinus".

    Also die Kurve dürfte einen "vermurksten" Sinus ergeben, der bei Winkeln um 45° zu steile Flanken aufweist - das kann man an der Animation erkennen/erahnen, wenn man sich statt der Platte nur einen stiftförmigen Abnehmer vorstellt.

    (Schade, ich hab kein gscheites Proggi, um Skizzen zu machen)

    Ist also soweit geklärt - leider nicht in meim Sinne :(

    (Oder wäre es möglich, eine Matheformel für den vermurksten Sinus aufzustellen?)
    Hab's:
    \[f(\alpha)=e\sin(\alpha)+\sqrt{r^2-e^2}\]

    NichtSinus.pdf(nunja, eigentlich "DochSinus" XD)

    Grüsse,

    Higlav
    hmm. Hab ich jetzt einfache Zahlen eingesetzt:
    r=5, e=3, alpha=90/270°

    kommt bei 90° raus:
    sqrt(25-9) + 3 = 7

    bei 270°: = 1

    In deiner Zeichnung ist e nicht ganz klar, also wenn e vom Rand gemessen ist statt vom Mittelpunkt, dann ists stimmig, sonst nicht.
    Aber das wär ja eine komische Art, e anzugeben.



    Und kann auch nicht stimmen, (meine ich) denn deine Rechnung wär ja doch ein sinus - und das sieht man ja in vb1963's Animation, dasses kein sinus sein kann, denn die Animation zeigt den Sinus-Fall, und der trifft ja nicht zu, weil der Sensor stiftförmig ist, und keine sone Platte hat wie inne Animation.
    Sorry, hatte nicht alle Winkel überprüft und hatte einen kleinen Denkfehler drinne. Hier ist die richtige Lösung:
    \[f(\alpha)=e\sin(\alpha)+\sqrt{r^2-(e\cos(\alpha))^2}\]

    Hier noch eine Animation dazu:Messvorrichtung.pdf
    Mit Adobe Acrobat Reader sollte die Animation möglich sein.

    Grüsse,

    Higlav
    @Higlav Ich hatte da auch schon begonnen, mehrere Fälle aufzumalen und hatte da einen Denkfehler.
    Wichtig an diesem Sachverhalt ist, dass e (die "Anschraubhöhe") konstant ist.
    Falls Du diesen Code kopierst, achte auf die C&P-Bremse.
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    @RodFromGermany Ja, eine konstante Anschraubhöhe wäre natürlich ideal. :D
    Habe noch den Plot der Funktion in die Animation miteingebaut: Messvorrichtung.pdf
    Und falls sich jemand fragt, wie ich das Ganze gemacht habe: Latex. Mit dem Tikz-package.
    Hier der Code

    TeX-Quellcode

    1. \documentclass[tikz,border=10pt,10pt]{beamer}
    2. \usepackage[utf8]{inputenc}
    3. \usepackage[german]{babel}
    4. \usepackage[T1]{fontenc}
    5. \usepackage{amsmath}
    6. \usepackage{amsfonts}
    7. \usepackage{amssymb}
    8. \usepackage{tikz}
    9. \usepackage{pgfplots}
    10. \usepackage{tkz-fct}
    11. \usetikzlibrary{decorations.pathreplacing}
    12. \usepackage{animate}
    13. \usepackage{ifthen}
    14. \setbeamertemplate{navigation symbols}{}
    15. \usetkzobj{all}
    16. \usetikzlibrary{arrows,calc,intersections}
    17. %\newcommand{\calc}[2]{\pgfmathparse{#2}\let#1\pgfmathresult}
    18. \newcounter{iteration}
    19. \setcounter{iteration}{0}
    20. \begin{document}
    21. \begin{frame}[fragile]{}
    22. \begin{center}
    23. \begin{animateinline}[palindrome, poster = first, controls]{5}
    24. \whiledo{\theiteration<91}{
    25. \begin{tikzpicture}
    26. \def\Radius{3}
    27. \def\E{2}
    28. \def\Alpha{0}
    29. \def\Alpha{(4*\theiteration)}
    30. \draw[gray] ({-(\Radius+\E)}, {-(\Radius+\E)}) grid ({\Radius+\E}, {\Radius+\E});
    31. \draw[-stealth,thick] ({-(\Radius+\E)}, 0) -- ({\Radius+\E}, 0);
    32. \draw[-stealth,thick] (0, {-(\Radius+\E)}) -- (0, {\Radius+\E});
    33. \draw[green!60!black] (0, 0) --({\E*cos(\Alpha)},{\E*sin(\Alpha)}) coordinate (krmitte);
    34. \draw[yellow!50!red, thick] (krmitte) circle (\Radius);
    35. \draw[red!10!blue] (krmitte) -- (0, {\E*sin(\Alpha)+sqrt(\Radius^2-(\E*cos(\Alpha))^2)}) coordinate (yend);
    36. \draw[draw=red,very thick,-stealth] (0, 0) -- (yend) node[pos=0.5,anchor=west]{$\textcolor{red}{y(\alpha)}=\textcolor{green!60!black}{e\sin(\alpha)}+\textcolor{red!10!blue}{\sqrt{r^2-(e\cos(\alpha))^2}}$};
    37. \begin{scope}
    38. \clip({-(\Radius+\E)}, {-(\Radius+\E)}) rectangle ({\Radius+\E}, {\Radius+\E});
    39. \draw[variable=\x,smooth,domain=0:{2*3.1415}] plot ({\x-\Alpha/180*pi},{\E*sin(\x/pi*180)+sqrt(\Radius^2-(\E*cos(\x/pi*180))^2)});
    40. \end{scope}
    41. \end{tikzpicture}
    42. \stepcounter{iteration}
    43. \ifthenelse{\theiteration<91}{
    44. \newframe
    45. }{
    46. \end{animateinline}
    47. }}
    48. \end{center}
    49. \end{frame}
    50. \end{document}


    Grüsse,

    Higlav

    Higlav schrieb:

    wäre natürlich ideal
    ist doch gegeben:
    Der Abstand vom Mittelpunkt der Scheibe zur exzentrischen Drehachse.
    Klar, das ganze muss natürlich erst mal verinnerlicht werden, da ist die Animation von @VB1963 einfach Klasse.
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    Hab mal eine Frage zu deiner Aufgabe. Da ich der Meinung bin, das die Lösung viel zu kompliziert gemacht wird.
    Der Durchmesser der Scheibe, die gemessen wird ist bekannt?
    Wenn die Scheibe eine Umdrehung ausführt, erhältst du eine Amplitude, welche die doppelte Verschiebung des Aktuellen Drehpunktes zum Mittelpunkt darstellt. Ist auf jeden Fall auch eine Sinusfunktion, da es sich um einen Kreis handelt. Wenn du die Amplitude hast, kannst du bei jeden Winkel bestimmen wo der Mittelpunkt ist. Denn ist Drehpunkt gleich Mittelpunkt, erhältst du keine Amplitude. Die Formel muss ich dir aber erst noch schuldig bleiben. Da ich nun schon 40 Jahre aus der Schule bin, fällt es mir ein bisschen schwer. Aber ich denke, das ist ein Denkanstoß.
    Gruß Helge

    Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von „hlghyr“ ()

    Hallo hlghyr,

    hlghyr schrieb:

    Ist auf jeden Fall auch eine Sinusfunktion

    Ist es scheinbar nicht, da nicht der höchste Punkt, sondern der Punkt auf der y-Achse des Drehzentrums(dem Exzenter) gemessen wird. Ansonsten hättest du schon Recht gehabt. Post #6 war, was am Anfang angenommen wurde(und auch das, was du angenommen hast). Aber die Messung nimmt nur den höchsten Wert auf der y-Achse ab. Deshalb ergibt sich besagte Lösung in Post #12.

    Grüsse,

    Higlav
    Also ich habe keinen mathematischen Beweis parat, aber ich bin mir sicher, dass es nach den neuen Bedingungen kein Sinus ist.
    Ich habe ein Video angehängt, das einen Versuchsaufbau zeigt. (Gezippt, weil die webm-Endung nicht erlaubt ist.)
    Die "Täler" der Kurve sind viel breiter als die "Berge". Je exzentrischer, desto mehr weicht die Kurve von einem Sinus ab.
    Dateien
    "Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
    -- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
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    Higlav schrieb:

    die Spitze des Messgerätes
    Jou.
    Das haben wir "Abformung" genannt. Bei einer elementaren Spitzen-Geometrie (idealer Kegel oder dünner Stab mit Kugel) ist das ganze noch gut handhabbar. Irgend wann wollte jemand die Spitzen selbst abgeformt haben (so ne gezüchtete Spitze im Sub-µm-Bereich), da haben wir das Handtuch geworfen.
    Manche nennen das Faltung, isses aber nicht!
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    RodFromGermany schrieb:


    Das haben wir "Abformung" genannt. Bei einer elementaren Spitzen-Geometrie (idealer Kegel oder dünner Stab mit Kugel) ist das ganze noch gut handhabbar. Irgend wann wollte jemand die Spitzen selbst abgeformt haben (so ne gezüchtete Spitze im Sub-µm-Bereich), da haben wir das Handtuch geworfen.

    Oohhh, ja. Das wird auch noch beliebig komplex, wenn dann noch die Biegung des Taststabes hinzukommt. Die hängt dann nämlich hauptsächlich von der Tangentensteigung ab(müsste proportional dazu sein). Auch darf der Spitzenwinkel des Taststabes nicht grösser gleich zwei Mal die Tangentensteigung sein, da die Spitze sonst abhebt. Dann wäre da noch der Stip-Slick-Effekt, den man in den Griff kriegen muss, sowie besagter Offset, da die Spitze ja keine perfekte Spitze ist.

    RodFromGermany schrieb:

    Manche nennen das Faltung, isses aber nicht!

    Faltung? Wenn's nicht gerade um Origami geht, denke ich beim Wort "Faltung" immer an:
    \[(f*g)(t):=\int f(x)g(t-x)\mathrm dx\]

    :D

    Higlav schrieb:

    "Faltung"
    Genau dies meine ich.
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