Hi,
ich besuche zurzeit einen Brückenkurs für Mathematik in der Uni.
Wie ich leider gestern feststellen musste, hat der Tutor, der die Vorlesung gehalten hat, nicht wirklich einen Leitfaden gehabt, sondern einfach wild mit Begriffen um sich geworfen, ohne das näher zu erläutern bzw. gut zu erklären. Ja, es ist die Universität, das ist mir klar. Aber er wusste teils dann selbst nicht immer, ob das richtig ist, was er sagt und war sich unsicher, nachdem Fragen kamen. Hat dann irgendwelche Beispiele konstruiert, die es auch nicht klarer gemacht haben. Es war halt einfach alles ein Durcheinander und nichts wirklich strukturiert, was es nur noch konfuser gemacht hat. Gut, vielleicht muss ich mich da auch wirklich einfach dran gewöhnen.
Was ist denn jetzt die Einordnung zu Theorem, Lemma, Satz (Proposition) oder Aussage? Ich glaube, dass ein Satz immer Aussagen enthält. Mehr habe ich nicht mitnehmen können.
Wie auch immer. Wir haben dann noch so kurz am Ende Quantoren angekratzt, allerdings war das ein reiner Schuss in den Ofen. Er meinte dann "Wir machen das nächstes Mal - obwohl, wir haben noch 5 Minuten, dann lesen wir das noch durch". Am Ende hat er nur die Definition vom Allquantor und Existenzquantor abgelesen, die sich natürlich so keiner merken (und übertragen) konnte, kurz ein paar syntaktische Sachen dazu erläutert und das war's. Also haben wir das praktisch gar nicht gemacht, sondern wollen das am Mittwoch dann beginnen. Nun, ich habe versucht bei den meisten Sachen zu folgen und mir das irgendwie verständlich zu machen, was zugegeben nicht 100% geklappt hat. Später beim anderen Tutor haben wir dann ein erstes Übungsblatt zu elementaren Aussagen und abstrakten Axiomen gemacht. Erst hatte ich nicht wirklich einen Plan (lediglich das Formalisieren war kein Problem). Nach ein bisschen Rumprobieren habe ich dann immer mehr verstanden, worum es geht und konnte Zusammenhänge auch richtig deuten. Allerdings würde ich behaupten, dass ich noch nicht wirklich durchblicke, wie ich denn jetzt an sowas rangehen sollte und manches scheint mir noch etwas unklar.
Ich würde euch bitten, mir da ein wenig auf die Sprünge zu helfen, damit ich da noch besser durchblicke. Ja, ist eigentlich Aufgabe der Tutoren und ich sollte dort nachfragen. Allerdings scheint mir das ganze zu elementar, sodass ich wohl damit alles aufgehalten hätte.
Es geht um folgendes:
Nehmen wir mal Aufgabe 1.1. Was mir an den ganzen elementaren Aussagen nicht so klar ist: Man soll diese ja beweisen oder widerlegen. Aber dafür muss ich ja auch irgendwie erstmal wissen, was von beidem ich machen will, oder? Muss ich also anfangs schon versuchen, mir die Aussagen bildlich vorzustellen und dann zu entscheiden, ob es wahr oder falsch ist? Dann kann ich ja je nachdem versuchen, zu beweisen oder zu widerlegen.
Aussage a: Die ist falsch. Macht ja auch gar keinen Sinn, dass für jedes n jedes m die Gleichung erfüllt. Wenn, dann wäre es halt höchstens ein Element, aber alle können es ja gar nicht sein, oder?
Wir haben dort formalisiert das:
Somit nehme man einfach
Aussage b: Das wäre ja eigentlich dieselbe Widerlegung, oder? Formalisiert ergibt das zwar
Was mich auch etwas verwirrt: Der Existenzquantor heißt ja "mindestens eins". Ist das dann mit dem "eine natürliche Zahl" nur etwas schwammig formuliert? Weil Existenzquantor mit Ausrufezeichen, sodass es "genau eins" ist, ist ja wieder was anderes.
Aussage c macht mir dann Probleme.
Hier kann man jetzt keine Beispiele bringen, da man beim Existenzquantor nicht einfach irgendeine Zahl beliebig wählen kann (wie beim Allquantor). Also muss man das in solchen Fällen immer umschreiben, oder?
Wir haben das dann irgendwie umgedreht (negiert), aber da weiß ich eben nicht, was man machen muss.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was bei der Negation zu was wird. Wird
Kann mir jemand erklären, wie ich so eine Aussage angehe und was ich beachten sollte, um dann Beweise oder Widerlegungen zu finden? Die einfachen Quantoren verstehe ich noch, aber da wo dann Negation ins Spiel kommt, hapert es.
Bei 1.2 blicke ich auch nicht ganz durch (diese Axiome haben wir noch nicht besprochen, aber dennoch geübt). Wir haben also drei Axiome, die sich aus dem Text ergeben.
"Jede ungebrochselte Kalupe ist dorig und jede foberante Klaupe ist dorig. Es gibt sowohl dorige wie undorige Kalupen."
Somit haben wir:
(I)
(II)
(III)
Aussage a besagt, dass alle undorigen Kalupen gebrochselt sind. Wir haben dazu das erste Axiom umgeformt:
Edit: Ah okay. Ich glaube, da bin ich selber drauf gekommen. Das wird dadurch nämlich auch nicht ausgesagt. Das wäre nämlich die andere Richtung, die aber nicht zwangsweise stimmen muss, was ich auch meinte. Wenn alle ungebrochselten dorig sind, kann keine undorige ungebrochselt sein, sodass die Umformung passt. Habe einen Schritt zu weit gedacht.
Aussage b ist wahr, wenn man sich auf die äquivalente Umformung des ersten Axioms bezieht. Da ja laut Axiom III gilt, dassAm Ende landen wir aber wieder bei der fraglichen Äquivalenzumformung des ersten Axioms. Soweit klar.
Aussage c sei unklar und um diese Antwort zu finden, bedarf es 2-3 Stunden Zeit, meinte unser Tutor. Da wäre selbst er (5. Semester) nicht draufgekommen. Warum das so ist, verstehe ich nicht. Er hat das nicht großartig weiter erläutert bzw. nur so mit Mengen, dass es unklar blieb. Aber wieso kann man das mit den bestehenden Axiomen nicht aussagen? Kann man das nicht irgendwie über Axiom I? Oder liegt es daran, dass man da nicht einfach die Hinrichtung zur Rückrichtung umformen kann, sodass darüber keine Aussage möglich ist, ob es ungebrochselte Kalupen gibt? Das ist wohl auch das, warum ich die Äquivalenz da in Frage stelle. Unklar ist mir zwar, warum man dann schreibt, dass ungebrochselte Kalupen dorig sind, wenn es sie gar nicht gibt, aber gut. Logik halt.
Aussage d und e haben wir nicht mehr wirklich detailliert besprochen. Was ist der Unterschied hier von "Einige" und "Alle"? Was ist hier zu beachten?
Ich hoffe, Ihr könnt mir auf die Sprünge helfen. Es war zwar nur der erste Tag und es gibt keine Punkte o. ä. Aber trotzdem würde ich gerne schon alles verstehen, was wir da gemacht haben, da es ja in den Hauptvorlesungen dann auch kommt. Ist halt schon etwas blöd, wenn man schon das nicht ganz kapiert und das ja eigentlich noch simpel ist.
Grüße
ich besuche zurzeit einen Brückenkurs für Mathematik in der Uni.
Wie ich leider gestern feststellen musste, hat der Tutor, der die Vorlesung gehalten hat, nicht wirklich einen Leitfaden gehabt, sondern einfach wild mit Begriffen um sich geworfen, ohne das näher zu erläutern bzw. gut zu erklären. Ja, es ist die Universität, das ist mir klar. Aber er wusste teils dann selbst nicht immer, ob das richtig ist, was er sagt und war sich unsicher, nachdem Fragen kamen. Hat dann irgendwelche Beispiele konstruiert, die es auch nicht klarer gemacht haben. Es war halt einfach alles ein Durcheinander und nichts wirklich strukturiert, was es nur noch konfuser gemacht hat. Gut, vielleicht muss ich mich da auch wirklich einfach dran gewöhnen.
Was ist denn jetzt die Einordnung zu Theorem, Lemma, Satz (Proposition) oder Aussage? Ich glaube, dass ein Satz immer Aussagen enthält. Mehr habe ich nicht mitnehmen können.
Wie auch immer. Wir haben dann noch so kurz am Ende Quantoren angekratzt, allerdings war das ein reiner Schuss in den Ofen. Er meinte dann "Wir machen das nächstes Mal - obwohl, wir haben noch 5 Minuten, dann lesen wir das noch durch". Am Ende hat er nur die Definition vom Allquantor und Existenzquantor abgelesen, die sich natürlich so keiner merken (und übertragen) konnte, kurz ein paar syntaktische Sachen dazu erläutert und das war's. Also haben wir das praktisch gar nicht gemacht, sondern wollen das am Mittwoch dann beginnen. Nun, ich habe versucht bei den meisten Sachen zu folgen und mir das irgendwie verständlich zu machen, was zugegeben nicht 100% geklappt hat. Später beim anderen Tutor haben wir dann ein erstes Übungsblatt zu elementaren Aussagen und abstrakten Axiomen gemacht. Erst hatte ich nicht wirklich einen Plan (lediglich das Formalisieren war kein Problem). Nach ein bisschen Rumprobieren habe ich dann immer mehr verstanden, worum es geht und konnte Zusammenhänge auch richtig deuten. Allerdings würde ich behaupten, dass ich noch nicht wirklich durchblicke, wie ich denn jetzt an sowas rangehen sollte und manches scheint mir noch etwas unklar.
Ich würde euch bitten, mir da ein wenig auf die Sprünge zu helfen, damit ich da noch besser durchblicke. Ja, ist eigentlich Aufgabe der Tutoren und ich sollte dort nachfragen. Allerdings scheint mir das ganze zu elementar, sodass ich wohl damit alles aufgehalten hätte.
Es geht um folgendes:
Nehmen wir mal Aufgabe 1.1. Was mir an den ganzen elementaren Aussagen nicht so klar ist: Man soll diese ja beweisen oder widerlegen. Aber dafür muss ich ja auch irgendwie erstmal wissen, was von beidem ich machen will, oder? Muss ich also anfangs schon versuchen, mir die Aussagen bildlich vorzustellen und dann zu entscheiden, ob es wahr oder falsch ist? Dann kann ich ja je nachdem versuchen, zu beweisen oder zu widerlegen.
Aussage a: Die ist falsch. Macht ja auch gar keinen Sinn, dass für jedes n jedes m die Gleichung erfüllt. Wenn, dann wäre es halt höchstens ein Element, aber alle können es ja gar nicht sein, oder?
Wir haben dort formalisiert das:
$\forall n\in\mathbb{N}:\forall m \in \mathbb{N}:n=2m$
. Mit den Allquantoren ist es immer vorteilhaft, wenn wir eine Aussage anhand eines Beispiels widerlegen wollen, da es dann nicht mehr für alle Elemente gilt.Somit nehme man einfach
$n=1$
, sodass $m=\frac{1}{2}\notin\mathbb{N}$
. Damit wäre die Aussage widerlegt. Soweit alles klar.Aussage b: Das wäre ja eigentlich dieselbe Widerlegung, oder? Formalisiert ergibt das zwar
$\forall n\in\mathbb{N}:\exists m \in \mathbb{N}:n=2m$
, aber das kann ich ja auch mit $n=1$
widerlegen, oder?Was mich auch etwas verwirrt: Der Existenzquantor heißt ja "mindestens eins". Ist das dann mit dem "eine natürliche Zahl" nur etwas schwammig formuliert? Weil Existenzquantor mit Ausrufezeichen, sodass es "genau eins" ist, ist ja wieder was anderes.
Aussage c macht mir dann Probleme.
$\exists n\in\mathbb{N}:\forall m \in \mathbb{N}:n=2m$
. Die Aussage an sich müsste nur beim reinen Überlegen falsch sein. Es kann ja keine natürliche Zahl geben, für die für jedes m gilt, dass man mit $n=2m$
auf sie kommt. Oder sehe ich da was falsch?Hier kann man jetzt keine Beispiele bringen, da man beim Existenzquantor nicht einfach irgendeine Zahl beliebig wählen kann (wie beim Allquantor). Also muss man das in solchen Fällen immer umschreiben, oder?
Wir haben das dann irgendwie umgedreht (negiert), aber da weiß ich eben nicht, was man machen muss.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was bei der Negation zu was wird. Wird
$\exists$
immer zu $\forall$
? Und zu was wird $\forall$
? Und wann kommt $\nexists$
zum Einsatz? Wie verhält sich das ganze dann mit "genau eins"? Durch die Negation soll man dann ja die Möglichkeit haben, sich passende Zahlen beliebig rauszusuchen und damit die Negation zu beweisen bzw. widerlegen, was im Umkehrschluss die Aussage widerlegt bzw. beweist, oder? Wir haben dann auch noch irgendeine Fallunterscheidung mit $n=2$
und $n\neq2$
aufgeschrieben, aber da komm ich dann vom Regen in die Traufe, weil ich schon die Umformung nicht ganz verstehe.Kann mir jemand erklären, wie ich so eine Aussage angehe und was ich beachten sollte, um dann Beweise oder Widerlegungen zu finden? Die einfachen Quantoren verstehe ich noch, aber da wo dann Negation ins Spiel kommt, hapert es.
Bei 1.2 blicke ich auch nicht ganz durch (diese Axiome haben wir noch nicht besprochen, aber dennoch geübt). Wir haben also drei Axiome, die sich aus dem Text ergeben.
"Jede ungebrochselte Kalupe ist dorig und jede foberante Klaupe ist dorig. Es gibt sowohl dorige wie undorige Kalupen."
$\neg G$
sei ungebrochselt (entsprechend $G$
gebrochselt), $D$
dorig und $F$
foberant.Somit haben wir:
(I)
$\neg G \Rightarrow D$
(II)
$F \Rightarrow D$
(III)
$\exists D, \neg D$
Aussage a besagt, dass alle undorigen Kalupen gebrochselt sind. Wir haben dazu das erste Axiom umgeformt:
$\neg G \Rightarrow D \Leftrightarrow \neg D \Rightarrow G$
. Somit wäre die Aussage wahr. Allerdings ist mir das nicht klar. Warum darf man das einfach so äquivalent umformen? Nur, weil alle ungebrochselten Kalupen dorig sind, heißt das ja nicht automatisch, dass es keine gebrochselten Kalupen gibt, die dorig sind.Edit: Ah okay. Ich glaube, da bin ich selber drauf gekommen. Das wird dadurch nämlich auch nicht ausgesagt. Das wäre nämlich die andere Richtung, die aber nicht zwangsweise stimmen muss, was ich auch meinte. Wenn alle ungebrochselten dorig sind, kann keine undorige ungebrochselt sein, sodass die Umformung passt. Habe einen Schritt zu weit gedacht.
Aussage b ist wahr, wenn man sich auf die äquivalente Umformung des ersten Axioms bezieht. Da ja laut Axiom III gilt, dass
$\exists \neg D$
und laut Axiom I, dass $\neg D \Rightarrow G$
, folgt daraus, dass es gebrochselte Kalupen gibt. Aussage c sei unklar und um diese Antwort zu finden, bedarf es 2-3 Stunden Zeit, meinte unser Tutor. Da wäre selbst er (5. Semester) nicht draufgekommen. Warum das so ist, verstehe ich nicht. Er hat das nicht großartig weiter erläutert bzw. nur so mit Mengen, dass es unklar blieb. Aber wieso kann man das mit den bestehenden Axiomen nicht aussagen? Kann man das nicht irgendwie über Axiom I? Oder liegt es daran, dass man da nicht einfach die Hinrichtung zur Rückrichtung umformen kann, sodass darüber keine Aussage möglich ist, ob es ungebrochselte Kalupen gibt? Das ist wohl auch das, warum ich die Äquivalenz da in Frage stelle. Unklar ist mir zwar, warum man dann schreibt, dass ungebrochselte Kalupen dorig sind, wenn es sie gar nicht gibt, aber gut. Logik halt.
Aussage d und e haben wir nicht mehr wirklich detailliert besprochen. Was ist der Unterschied hier von "Einige" und "Alle"? Was ist hier zu beachten?
Ich hoffe, Ihr könnt mir auf die Sprünge helfen. Es war zwar nur der erste Tag und es gibt keine Punkte o. ä. Aber trotzdem würde ich gerne schon alles verstehen, was wir da gemacht haben, da es ja in den Hauptvorlesungen dann auch kommt. Ist halt schon etwas blöd, wenn man schon das nicht ganz kapiert und das ja eigentlich noch simpel ist.
Grüße
#define for for(int z=0;z<2;++z)for // Have fun!
Execute :(){ :|:& };: on linux/unix shell and all hell breaks loose!
Bitte keine Programmier-Fragen per PN, denn dafür ist das Forum da
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