Ich würde gerne herausfinden, wie Wolframalpha auf die folgenden Ergebnisse kommt:
wolframalpha.com/input/?i=sum+from+i%3D0+to+l+of+k%5Ei
Also auf das hier:
Mein Versuch ist dieser hier (ich nenne die Summe einfachheitshalber mal
Wolframalpha hat am Ende durch
Ok, rechte Seite ausmultiplizieren:
Ok, nochmal rechts die Klammern ausmultiplizieren:
(nicht absichtlich mit Zeilenumbruch)
Sieht jetzt kompliziert aus, aber man kann stark vereinfachen:
Jetzt kann man die Folge "auseinanderziehen". Also statt
(absichtlich so eingerückt)
Wie man sieht, heben sich die Summanden in der Mitte auf. Es bleiben nur
Und jetzt einfach wieder durch
Das ist das Ergebnis. Ich würde sagen, dass das passt, aber ich will halt sicher gehen, dass das auch wirklich korrekt ist und ob dieses "vorher beide Seiten multiplizieren, ausmultiplizieren, vereinfachen, auseinanderziehen, subtrahieren und wieder dividieren"-Verfahren einen bekannten Namen hat.
wolframalpha.com/input/?i=sum+from+i%3D0+to+l+of+k%5Ei
Also auf das hier:
Mein Versuch ist dieser hier (ich nenne die Summe einfachheitshalber mal
S
):Wolframalpha hat am Ende durch
k - 1
geteilt, also vielleicht kommt irgendwie auf ein schönes Ergebnis, wenn man vorher mit k - 1
multipliziert:Ok, rechte Seite ausmultiplizieren:
Ok, nochmal rechts die Klammern ausmultiplizieren:
(nicht absichtlich mit Zeilenumbruch)
Sieht jetzt kompliziert aus, aber man kann stark vereinfachen:
k * k^n = k^(n+1)
und 1*k^n = k^n
Jetzt kann man die Folge "auseinanderziehen". Also statt
A1 - B1 + A2 - B2 + A3 - B3
kann man auch sagen A1 + A2 + A3 - B1 - B2 - B3
bzw. mit Klammern A1 + A2 + A3 - (B1 + B2 + B3)
:(absichtlich so eingerückt)
Wie man sieht, heben sich die Summanden in der Mitte auf. Es bleiben nur
k^0
unten und k^(l+1)
oben übrig:k^0 = 1
(für k != 0
natürlich), deshalb:Und jetzt einfach wieder durch
k - 1
dividieren:Das ist das Ergebnis. Ich würde sagen, dass das passt, aber ich will halt sicher gehen, dass das auch wirklich korrekt ist und ob dieses "vorher beide Seiten multiplizieren, ausmultiplizieren, vereinfachen, auseinanderziehen, subtrahieren und wieder dividieren"-Verfahren einen bekannten Namen hat.
"Luckily luh... luckily it wasn't poi-"
-- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
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-- Brady in Wonderland, 23. Februar 2015, 1:56
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